Elektrizitätslehre (Theorie auf Deutsch)

 

Elektrische Ladung

Elektrische Ladung ist eine grundlegende Eigenschaft von Teilchen, durch die sie elektrische Kräfte aufeinander ausüben. Es gibt positive und negative Ladungen. Gleichnamige elektrische Ladungen stoßen sich ab, Ungleichnamige ziehen sich an.

Die Einheit der elektrischen Ladung (\(\large Q\)) ist Coulomb (\(\large C\)). Die Elementarladung (\(\large e\)) ist die kleinste frei vorkommende elektrische Ladung. Sie entspricht der Ladung eines Protons (\(\large +e\)) bzw. eines Elektrons (\(\large -e\)). Ihr Wert beträgt:

 

\(\large e \approx 1,\!6 \cdot 10^{-19}\ C\)

 

Ein Elektron ist ein Beispiel für ein Teilchen, das als Ladungsträger bezeichnet wird.

Ein Körper ist insgesamt elektrisch geladen, wenn er einen Überschuss oder einen Mangel an Elektronen hat. Die elektrische Ladung eines Körpers wird durch die Formel \(\large Q=n \cdot e\) bestimmt, wobei die Anzahl der überschüssigen oder fehlenden Elektronen ist. Ein Körper ist positiv geladen, wenn er einen Elektronenmangel hat. Ein Körper ist negativ geladen, wenn er einen Elektronenüberschuss hat.

Eine Punktladung ist eine gedachte elektrische Ladung, die in einem Punkt konzentriert ist. Ihre Ausdehnung wird vernachlässigt, sodass nur ihre Ladungsgröße betrachtet wird.

 

Elektrischer Strom

Elektrischer Strom ist die gerichtete Bewegung von elektrischen Ladungen.

Die Stromstärke (\(\large I\)) gibt an, wie viele Ladungen pro Zeiteinheit (also pro Sekunde) durch einen Leiterquerschnitt fließen:

 

\(\large I=\displaystyle\frac{Q}{t}\)

 

Einheit der Stromstärke: Ampere (\(\large A\)).

Stromrichtungen: Die physikalische Stromrichtung beschreibt die tatsächliche Bewegungsrichtung der Elektronen in Metallen – also vom Minuspol zum Pluspol.

Die technische Stromrichtung ist die Richtung, in der sich positive Ladungen bewegen würden – also vom Pluspol zum Minuspol.

 

Spannung

Die elektrische Spannung (\(\large U\)) gibt an, wieviel Energie eine elektrische Ladung bekommt, wenn sie sich zwischen zwei Punkten bewegt. Sie ist die Ursache für den elektrischen Strom. Einheit der Spannung: Volt (\(\large V\)).

Die Spannungsquelle hat immer einen Plus- und einen Minuspol.

 

Widerstand

Der elektrische Widerstand \(\large R\) zeigt, welche Spannung man braucht, um eine bestimmte elektrische Stromstärke durch einen bestimmte elektrischen Leiter fließen zu lassen.

Einheit des elektrischen Widerstands (\(\large R\)): Ohm \(\large [\Omega]\)

Der elektrische Widerstand gibt an, wie stark ein Leiter den Stromfluss hemmt. Je größer der Widerstand, desto geringer ist der Strom, der bei einer bestimmten Spannung fließen kann. Er hängt vom Material, der Länge und dem Querschnitt des Leiters ab.

Materialien können grob in zwei Kategorien eingeteilt werden: Leiter (z.B. Metalle) und Nichtleiter (z.B. Kunststoffe). Leiter sind Stoffe, die elektrischen Strom gut leiten, während Nichtleiter (auch Isolatoren genannt) dies nur sehr schlecht oder gar nicht tun.

 

Ohmsches Gesetz

Die elektrische Spannung ist gleich dem Produkt vom Widerstand und dem Strom.

 

\(\large U = R \cdot I\)

 

Der Zusammenhang heißt das Ohmsche Gesetz.

Trotz des Ohmschen Gesetzes ist es wichtig zu verstehen, dass der elektrische Widerstand nicht von Stromstärke oder Spannung abhängt, sondern eine Eigenschaft des Leiters selbst ist.

 

Stromkreis

Stromkreis ist ein geschlossenes System, das aus elektrischen Leitern besteht. Elektrische Leiter sind Stoffe, die elektrischen Strom leiten können.

 

 

Bestandteile

Um einen Stromkreis zu bauen, sind mindestens drei Bestandteile nötig: Verbraucher, Spannungsquelle und elektrischer Leiter.

Für das Zeichnen des elektrischen Stromkreises zeichnet man grafische Symbole.

 

 

Reihen- und Parallelschaltung

In einem Stromkreis kann es mehrere Verbraucher geben. Abhängig davon, wie sie zueinander eingeschaltet sind, spricht man von der Parallel- oder Reihenschaltung.

In der Reihenschaltung stehen die Verbraucher nacheinander, in der Parallelschaltung nebeneinander.

 

 

Wenn ein Verbraucher in der Reihenschaltung kaputt geht, funktioniert der Stromkreis nicht mehr. Wenn ein Verbraucher in der Parallelschaltung kaputt geht, funktioniert der gesamte Stromkreis trotzdem.

 

Berechnung von Strom, Spannung und Widerstand

In der Reihenschaltung

 

\(\large\begin{aligned}
& I_{ges}=I_1=I_2=\ldots=I_N \\
& U_{ges}=U_1+U_2+\ldots+U_N \\
& R_{ges}=R_1+R_2+\ldots+R_N
\end{aligned}\)

 

In der Parallelschaltung

 

\(\large\begin{aligned}
& I_{ges}=I_1+I_2+\ldots+I_N \\
& U_{ges}=U_1=U_2=\ldots=U_N \\
\\
& \frac{1}{R_{ges}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\ldots+\frac{1}{R_N}
\end{aligned}\)

 

Gemischte Schaltung berechnen

Eine gemischte Schaltung ist eine Kombination aus Reihen- und Parallelschaltungen. Sie ist aus mindestens drei Elementen aufgebaut und ermöglicht die Berechnung von Ersatzwiderständen, Strömen und Spannungen durch schrittweise Vereinfachen der Schaltung.

Um eine gemischte Schaltung zu berechnen, muss man die Schaltung schrittweise vereinfachen, indem man innere Reihen- oder Parallelschaltungen zu einem Ersatzwiderstand zusammenfasst.

1. Elemente identifizieren: Bestimmen Sie, welche Widerstände in Reihe und welche parallel geschaltet sind.

2. Ersatzwiderstände bilden:

   • Reihenschaltung: Addieren Sie die Werte der in Reihe geschalteten Widerstände.
   • Parallelschaltung: Berechnen Sie den Kehrwert des Gesamtwiderstands als Kehrwert der Summe der Einzelwiderstände.

3. Fortfahren: Setzen Sie die berechneten Ersatzwiderstände wieder in die Schaltung ein und wiederholen Sie die Schritte, bis die gesamte Schaltung zu einem einzigen Ersatzwiderstand zusammengefasst ist.

4. Gesamtwerte berechnen: Sobald der Gesamtwiderstand bekannt ist, können Sie die Gesamtspannung und die Gesamtstromstärke berechnen.

5. Einzelwerte ermitteln: Verwenden Sie das Ohm’sche Gesetz, um die Teilspannungen und Teilströme für die einzelnen Elemente der vereinfachten Schaltung zu bestimmen.

 

Beispiel 1 der Aufgabe mit der gemischten Schaltung

Betrachten Sie das folgende Stromkreis von Widerständen. Bei diesem Stromkreis gilt:

 

\(\large R_1 = 6 \ \Omega, \ R_2 = 6\ \Omega, \ R_3 = 3\ \Omega, \ R_4 = 3\ \Omega\)

 

Die Spannung beträgt \(\large U = 12 \ V\).

 

 

a) Wie groß ist der gesamte (resultierende) Widerstand \(\large R_{ges}\) des Stromkreises?

b) Durch welchen der vier Widerstände fließt der größte Strom \(\large I_{max}\)? Berechnen Sie diese Stromstärke \(\large I_{max}\).

c) Welche Spannung \(\large U_2\) liegt am Widerstand \(\large R_2\) an?

Lösungsweg:

a) \(\large R_{ges}\) des Netzwerkes bestimmen.

Elemente identifizieren:

Widerstände \(\large R_2, \ R_3, \ R_4\) sind in Reihe geschaltet

der Widerstand \(\large R_1\) ist mit der Gruppe von \(\large R_2\!\!-\!\!R_3\!\!-\!\!R_4\) parallel geschaltet

Ersatzwiderstände bilden:

• Reihenschaltung: \(\large R_e(2\!\!-\!\!3\!\!-\!\!4)=R_2+R_3+R_4=6\ \Omega+3\ \Omega+3\ \Omega=12\ \Omega\)
• Parallelschaltung:

 

\(\large 1/R_{ges} = 1/R_1 +1/R_e (2\!\!-\!\!3\!\!-\!\!4)=1/6\ \Omega+1/12\ \Omega=1/4\ \Omega\)

 

\(\large R_{ges}=4\ \Omega\)

 

b) Stromstärke berechnen:

Die Stromstärke in \(\large R_1\) ist nach dem Ohmschen Gesetz \(\large I_1=U_1/R_1\)

\(\large U_1\) ist gleich \(\large U\) der Spannungsquelle

Damit ergibt sich Stromstärke \(\large I_1=12\ V/6\ \Omega=2\ A\)

Die Stromstärke in \(\large R_2, \ R_3, \ R_4\) ist gleich, da sie in Reihe geschaltet sind. Und sie wird durch die Spannung und Ersatzwiderstand der Gruppe \(\large 2\!\!-\!\!3\!\!-\!\!4\) berechnet:

 

\(\large I_2=I_3=I_4=U/R_e(2\!\!-\!\!3\!\!-\!\!4)=12\ V/12\ \Omega=1\ A\)

 

Also die Stromstärke \(\large I_1\) ist die gröste. \(\large I_{max}=2\ A\)

c. Spannung \(\large U_2\) berechnen:

die Spannung, die am \(\large R_2\) angelegt ist, nach dem Ohmschen Gesetz: 

 

\(\large U_2=I_2\cdot R_2\)

 

\(\large U_2=1\ A  \cdot 6\ \Omega=6\ V\)

 

Beispiel 2 der gemischten Schaltung

Überprüfen Sie sich selbst, ob Sie den Gesamtwiderstand korrekt berechnen können:

 

 

Bei diesem Stromkreis gilt: \(\large R_1 = 6\ \Omega, \ R_2 = 3\ \Omega, \ R_3 = 3\ \Omega,\  R_4 = 4\ \Omega\)

Antwort: \(\large R_{ges}=7\ \Omega\)

 

Die elektrische Leistung (Stromleistung)

Die elektrische Leistung gibt an, wie viel elektrische Energie pro Sekunde umgesetzt wird. Man bezeichnet sie mit dem Buchstaben \(\large P\) und misst sie in Watt (\(\large W\)).

Die grundlegende Formel lautet:

 

\(\large P = U\cdot I\)

 

Das bedeutet: Je größer die Spannung oder der Strom, desto mehr Leistung wird in einem Gerät verbraucht oder umgesetzt.

Aus dem Ohmschen Gesetz lassen sich noch zwei weitere Formeln für die elektrische Leistung herleiten:

 

\(\large\begin{aligned}
&P=U \cdot I=U \cdot\left(\frac{U}{R}\right)=\frac{U^2}{R} \\
\\
&P=U \cdot I=(I \cdot R) \cdot I=I^2 \cdot R
\end{aligned}\)

 

Beispiel 3 Bestimmung der Stromleistung bei einem Stromkreis mit der gemischten Schaltung

Betrachten Sie das folgende Stromkreis von Widerständen: Bei diesem Stromkreis gilt:

 

\(\large R_1 = 6\ \Omega, \ R_2 = 6\ \Omega,\  R_3 = 3\ \Omega, \ R_4 = 3\ \Omega, \ R_5 = 2\ \Omega\)

 

Die Spannung der Spannungsquelle beträgt \(\large U = 12 \ V\).

Bestimmen Sie die Stromleistung in jeder Einzelnwiderstände.

 

 

Lösungsweg:

Um Stromleistung zu bestimmen muss der Betrag von mindestens 2 Größe bekannt sein: oder \(\large U\) und \(\large I\), oder \(\large U\) und \(\large R\), oder \(\large I\) und \(\large R\).

1. Bestimmen wir zuerst \(\large I_5\) als \(\large I_{ges}\). Dazu muss man \(\large R_{ges}\) berechnen.

\(\large R_3\) und \(\large R_4\) — Reiheschaltung \(\large R_e (3\!\!-\!\!4) = 3\ \Omega+3\ \Omega=6\ \Omega\)

\(\large R_1\) und \(\large R_2\) und \(\large R_e(3\!\!-\!\!4)\) — Parallelschaltung:

 

\(\large R_e (1\!\!-\!\!2\!\!-\!\!34)=1/(1/6\ \Omega+1/6\ \Omega+1/6\ \Omega)= 2\ \Omega\)

 

\(\large R_5\) und \(\large R_e (1\!\!-\!\!2\!\!-\!\!34)\) — Reihenschaltung

 

\(\large R_{ges}=2\ \Omega+2\ \Omega=4\ \Omega\)

 

\(\large I_{ges}=U/R_{ges}=12\ V/4\ \Omega=3\ A\)

 

2. \(\large P_5\) bestimmen:

\(\large I_5=I_{ges}=3\ A\)

 

\(\large P_5=I^2\cdot R_5=(3\ A)^2\cdot 2\ \Omega=18 \ W\)

 

3. \(\large U_1, \ U_2, \ U_3,\ U_4\) berechnen:

\(\large U_1=U_2=U(34)\) da die Widerstände 1, 2 und die Gruppe-(34) parallel geschaltet sind

Wegen die Reihenschaltung mit \(\large R_5\) kann man \(\large U_1\) als Differenz zwischen der Gesamtspannung und \(\large U_5\) berechnen:

 

\(\large U_1=U_2=U(34) =U_{ges}-U5=U-(I_5\cdot R_5)=12\ V-(3\ A\cdot 2\ \Omega)=6\ V\)

 

\(\large R_3=R_4\) (Laut Aufgabenstellung) und \(\large I_3=I_4\), da sie in Reihe geschaltet sind. Daraus ergibt sich: \(\large U_3=U_4\)

 

\(\large U(34)=U_3+U_4\)

 

Daraus ergibt sich: \(\large U_3=U_4=6\ V/2=3\ V\)

4. \(\large P_1,\ P_2,\ P_3,\ P_4\) berechnen:

 

\(\large P_1=(U_1)^2/R_1=(6\ V)^2/6\ \Omega=6\ W\)

 

\(\large P_2=(U_2)^2/R_2=(6\ V)^2/6\ \Omega=6\ W\)

 

\(\large P_3=(U_3)^2/R_3=(3\ V)^2/3\ \Omega=3\ W\)

 

\(\large P_4=(U_4)^2/R_4=(3\ V)^2/3\ \Omega=3\ W\)

 

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