Формулы сокращенного умножения и упрощение выражений (Теория)

Ни один экзамен не обходится без заданий на упрощение выражений, буквенных или численных, в основе всегда лежат принципы сокращения и операции со степенями. Однако, чем сложнее система, тем сложнее с ней оперировать. Первое, что нужно знать – это формулы сокращенного умножения (Binomische Formeln)

\(\large\begin{gathered}
(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\
(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2} \\
(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\
(a-b)^{3}=a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3} \\
a^{2}-b^{2}=(a-b) \cdot(a+b) \\
a^{3}+b^{3}=(a+b) \cdot\left(a^{2}-a b+b^{2}\right) \\
a^{3}-b^{3}=(a-b) \cdot\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)
\end{gathered}\)

Пример

Поговорим об одном частном случае, который сбивает с толку в экзаменационной работе, а именно – дробно-иррациональные выражения, например:

\(\large\begin{aligned}
&\frac{\sqrt{10}-5}{5+\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5} \cdot(\sqrt{2}-\sqrt{5})}{\sqrt{5} \cdot(\sqrt{5}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}
\end{aligned}\)

Кажется, что больше упростить нельзя – и сверху, и снизу сумма корней. Однако, вспомним одну из формул сокращенного умножения:

\(\large a^{2}-b^{2}=(a-b) \cdot(a+b)\)

С помощью нее можно сократить дробь, умножив знаменатель и числитель на сопряженное выражение знаменателя, то есть умножив на такое же выражение, которое стоит в знаменателе, но взятое с противоположным знаком:

\(\large\begin{gathered}
\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{5}) \cdot(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \cdot(\sqrt{5}-\sqrt{2})}=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{5}) \cdot(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2}=\frac{-(\sqrt{2}-\sqrt{5})^{2}}{3}=\\
\\
=\frac{-(2-2 \sqrt{10}+5)}{3}=\frac{2 \sqrt{10}-7}{3}
\end{gathered}\)